LOGARITMA

Bagaimana menentukan pangkat suatu bilangan jika bilangan pokok dan hasil perpangkatannya sudah diketahui, misalnya 2^x=16, berapakah nilai x?

Untuk menjawab pertanyaan tersebut, ada salah satu cara dalam matematika yang biasa dikenal dengan logaritma atau disingkat log.

1.    Pengertian Logaritma
Jika a^x = b, di mana b adalah bilangan positif yang tidak sama dengan 1, maka eksponen x adalah logatritma b dengan pokok a atau ditulis x = ^xlog b,

misalnya              a. 2^x  = 16, maka x  = ²log 16

                              b. 3^x  = 27, maka x  = ³log 27

c. 4^x  = 64, maka x  = ³log 64

terlihat adanya hubungan antara perpangkatan dan logaritma, yaitu bahwa logaritma adalah invers dari perpangkatan.

Jika a > 0 dan a ≠ 1 , maka berlaku

^alog b = x  jika dan hanya jika b = a^x

dengan    a adalah bilangan pokok

                  b adalah numerus (bilangan yang dicari nilai logaritmanya), b > 0

                  x adalah hasil logaritma.

Latihan

Tentuakan nilai dari logaritma-logaritma dibawah ini!

1. ³Log 27
2. ⁵Log 625
3. ⁶⁴Log 4

Jawab

1. ³Log 27= x ó   3^x = 27

                                 3^x = 3³

                                 X  = 3           Jadi nilai ³Log 27 = 3

2. ⁵Log 625 = x ó  5^x = 625

                                    5^x = 5⁴

                                    X  = 4        Jadi nilai ⁵Log 625 = 4

3. ⁶⁴Log 4= x ó      64^x    = 4

                                    (4³)^x  = 4¹

                                     3X   = 1

                                    X    =  1/3  Jadi nilai ⁶⁴Log 4= 1/3

2.    Menentukan Nilai Logaritma Suatu Bilangan

Beberapa cara yang dapat digunakan antara lain :

1. dengan menggunakan grafik y = a^x dengan a > 1 atau 0 < a< 1
2. dengan menggunakan table, atau
3. dengan menggunakan kalkulator

a.    Menentukan Nilai Logaritma Bilangan Menggunakan grafik y = a^x

Misalnya kita di hadapkan pada persoalan untuk menentukan nilai dari ²log 12, maka untuk menyelesaikannya dapat digunakan langkah-langkah sebagai berikut.

1)    melukis model grafik yang akan digunakan untuk ²log 12 = x è 2² = 12, maka model grafik yang digunakan adalah y =2^x

2)    melukis grafik y =2^x dengan cara

menentukan titik-titik koordinat x dan y.

untuk x =0, maka y = 2⁰ = 1

x =1, maka y = 21 = 2

      x =2, maka y = 2² = 4

x =3, maka y = 2³ = 8

x =4, maka y = 2⁴ = 16

dengan demikian diperoleh grafik yang

melalui titik-titik

(0, 1), (1, 2), ( 2, 4), (3, 8), dan (4, 16) 

3)    dari bilangan 12 pada sumbu Y, tarik garis sejajar dengan sumbu X sehingga memotong grafik  Y = 2²

4)    dari titik perpotongan tadi, tariklah garis sejajar sumbu Y sehingga memotong sumbu X di x  = 3,58

5)    bilangan pada titik potong di sumbu  tersebut merupakan hasil dari ²log 12 yaitu x= 3,58

b.    Menentukan Nilai Logaritma Bilangan Menggunakan Tabel

Cara lain menentukan logaritma suatu bilangan yang bukan merupakan hasil perpangkatan dari bilangan pokoknya adalah dengan menggunakan table logaritma. Table logaritma yang dimaksud adalah table logaritma untuk bilangan pokok 10.

Cara membaca tabel logaritma adalah sebagai berikut,

1)    Jika menentukan nilai dari log 1,94, maka langkah pertama adalah mencari dua bilangan pertama dari bilangan yang akan ditentukan logaritmanya pada kolom N, yaitu 19

2)    Selanjutnya mencari bagian decimal (mantis) yang berada pada baris bilangan 19 dan tepat di angka 4 (kolom ke 6) diperoleh nilai 288.

3)    Oleh krena angka 1,94 terletak di antara 1 dan 10, bagian bulat dari 1,94 adalah 0. dengan demikian log 1,94 = 0,288

c.    Menentukan Nilai Logaritma Bilangan Menggunakan Kalkulator

Langkah-langkah yang digunakan :

1)    tekan tombol yang bertuliskan log

2)    ketik bilangan yang akan dicari nilai logaritmanya

3)    tekan tombol =

3.    Sifat-sifat Logaritma

Dengan menggunakan sifat-sifat logaritma, maka bentuk-bentuk perhitungan yang sulit akan relatif lebih mudah untuk diselesaikan.

Adapun sifat-sifatnya

Sifat 1

Jika a dan b bilangan real positif, a ≠ 1, maka a ^{log  = b}

Sifat 2

Jika a, b dan c bilangan real positif dan a ≠ 1 maka ^alog (b x c) = ^alog b + ^alog c

Sifat 3

Untuk a, b, dan c bilangan real  positif dan a ≠ 1, maka  ^alog    = ^alog b -  ^alog c

Sifat 4

Jika a dan b bilangan real positif dan a ≠ 1, maka ^alog bⁿ = n  x ^alog b

Sifat 5

Jika a, b dan c bilangan real positif dan a ≠ 1, c ≠ 1, maka

                              ^alog b =

Untuk c = b

^alog b =

Sifat 6

Jika a, b dan c bilangan real positif dan a ≠ 1, b ≠ 1,

maka berlaku ^alog b X ^blog c = ^alog c

Sifat 7

Jika a dan b bilangan real positif dan a ≠ 1,

maka  berlaku ^alog b^m =           x  ^alog b.

jika m = n maka

4.    Penerapan Logaritma dalam perhitungan-perhitungan.

a)    Pemakaian Logaritma dalam perkalian dan pembagian

Sifat –sifat logaritma yang digunakan dalam operasi perkalian dan pembagian adalah :

1.    log (a x b) = log a + log b

2.    log     = log a – log b

contoh soal!

è hitunglah 4,28 x 15,62

Jawab

Misal         p = 4,28 X 15,62

           log p = log (4,28 X 15,62)

                           log p = log 4,28 + log 15,62

           log p = 0,631 + (0,193 +1 )

           log p = 1,824

           log p = 0,824 + 1

                  p = antilog 0,824 X antilog 1

                  p = 6,67 X 10¹

                  p = 6,67

b)   Pemakaian Logaritma dalam perpangkatan dan penarikan akar

Sifat –sifat logaritma yang digunakan dalam operasi perpangkatan dan penarikan akar adalah ^alog bⁿ = n x ^alog b

contoh soal!

è hitunglah (321,26)⁵

Jawab

Misal           p =  (321,26)⁵

           log p = log (321,26)⁵

                           log p = 5 X  log 321,26

           log p =  5 X  2,505

            log p = 12,525

           log p = 0,525 + 12

                  p = antilog 0,525 X antilog (12)

                  p = 3,35 X 10¹²