Animated flag images by 3DFlags.comSEMOGA SEMUA YANG SAYA UPLOAD DI BLOG INI BERGUNA BAGI TEMAN-TEMAN, BLOG INI SEBAGIAN BESAR BERISI TENTANG BAHAN-BAHAN KULIAH SAYA YANG JUGA SAYA GUNAKAN SEBAGAI ARSIP SENDIRI, JADI BANYAK YANG BUKAN TULISAN SAYA SENDIRI... MOHON DIMAKLUMI Animated flag images by 3DFlags.com

Minggu, 16 Oktober 2011

LOGARITMA


Bagaimana menentukan pangkat suatu bilangan jika bilangan pokok dan hasil perpangkatannya sudah diketahui, misalnya 2x=16, berapakah nilai x?
Untuk menjawab pertanyaan tersebut, ada salah satu cara dalam matematika yang biasa dikenal dengan logaritma atau disingkat log.

1.    Pengertian Logaritma
Jika ax = b, di mana b adalah bilangan positif yang tidak sama dengan 1, maka eksponen x adalah logatritma b dengan pokok a atau ditulis x = xlog b,
misalnya              a. 2x  = 16, maka x  = 2log 16
                              b. 3x  = 27, maka x  = 3log 27
c. 4x  = 64, maka x  = 3log 64
terlihat adanya hubungan antara perpangkatan dan logaritma, yaitu bahwa logaritma adalah invers dari perpangkatan.
Jika a > 0 dan a ≠ 1 , maka berlaku
alog b = x  jika dan hanya jika b = ax
dengan    a adalah bilangan pokok
                  b adalah numerus (bilangan yang dicari nilai logaritmanya), b > 0
                  x adalah hasil logaritma.

Latihan
Tentuakan nilai dari logaritma-logaritma dibawah ini!
  1. 3Log 27
  2. 5Log 625
  3. 64Log 4
Jawab
  1. 3Log 27= x ó   3x = 27
                                 3x = 33
                                 X  = 3           Jadi nilai 3Log 27 = 3
  1. 5Log 625 = x ó  5x = 625
                                    5x = 54
                                    X  = 4        Jadi nilai 5Log 625 = 4
  1. 64Log 4= x ó      64x    = 4
                                    (43)x  = 41
                                     3X   = 1
                                    X    =  1/3  Jadi nilai 64Log 4= 1/3

2.    Menentukan Nilai Logaritma Suatu Bilangan
Beberapa cara yang dapat digunakan antara lain :
    1. dengan menggunakan grafik y = ax dengan a > 1 atau 0 < a< 1
    2. dengan menggunakan table, atau
    3. dengan menggunakan kalkulator

a.    Menentukan Nilai Logaritma Bilangan Menggunakan grafik y = ax
Misalnya kita di hadapkan pada persoalan untuk menentukan nilai dari 2log 12, maka untuk menyelesaikannya dapat digunakan langkah-langkah sebagai berikut.
1)    melukis model grafik yang akan digunakan untuk 2log 12 = x è 22 = 12, maka model grafik yang digunakan adalah y =2x
2)    melukis grafik y =2x dengan cara
menentukan titik-titik koordinat x dan y.
untuk x =0, maka y = 20 = 1
x =1, maka y = 21 = 2
      x =2, maka y = 22 = 4
x =3, maka y = 23 = 8
x =4, maka y = 24 = 16
dengan demikian diperoleh grafik yang
melalui titik-titik
(0, 1), (1, 2), ( 2, 4), (3, 8), dan (4, 16) 




3)    dari bilangan 12 pada sumbu Y, tarik garis sejajar dengan sumbu X sehingga memotong grafik  Y = 22
4)    dari titik perpotongan tadi, tariklah garis sejajar sumbu Y sehingga memotong sumbu X di x  = 3,58
5)    bilangan pada titik potong di sumbu  tersebut merupakan hasil dari 2log 12 yaitu x= 3,58

b.    Menentukan Nilai Logaritma Bilangan Menggunakan Tabel
Cara lain menentukan logaritma suatu bilangan yang bukan merupakan hasil perpangkatan dari bilangan pokoknya adalah dengan menggunakan table logaritma. Table logaritma yang dimaksud adalah table logaritma untuk bilangan pokok 10.
Cara membaca tabel logaritma adalah sebagai berikut,
1)    Jika menentukan nilai dari log 1,94, maka langkah pertama adalah mencari dua bilangan pertama dari bilangan yang akan ditentukan logaritmanya pada kolom N, yaitu 19
2)    Selanjutnya mencari bagian decimal (mantis) yang berada pada baris bilangan 19 dan tepat di angka 4 (kolom ke 6) diperoleh nilai 288.
3)    Oleh krena angka 1,94 terletak di antara 1 dan 10, bagian bulat dari 1,94 adalah 0. dengan demikian log 1,94 = 0,288

c.    Menentukan Nilai Logaritma Bilangan Menggunakan Kalkulator
Langkah-langkah yang digunakan :
1)    tekan tombol yang bertuliskan log
2)    ketik bilangan yang akan dicari nilai logaritmanya
3)    tekan tombol =

3.    Sifat-sifat Logaritma
Dengan menggunakan sifat-sifat logaritma, maka bentuk-bentuk perhitungan yang sulit akan relatif lebih mudah untuk diselesaikan.

Adapun sifat-sifatnya
Sifat 1
Jika a dan b bilangan real positif, a ≠ 1, maka a log  = b
Sifat 2
Jika a, b dan c bilangan real positif dan a ≠ 1 maka alog (b x c) = alog b + alog c
Sifat 3
Untuk a, b, dan c bilangan real  positif dan a ≠ 1, maka  alog    = alog b -  alog c
Sifat 4
Jika a dan b bilangan real positif dan a ≠ 1, maka alog bn = n  x alog b
Sifat 5
Jika a, b dan c bilangan real positif dan a ≠ 1, c ≠ 1, maka

                              alog b =

Untuk c = b

alog b =


Sifat 6
Jika a, b dan c bilangan real positif dan a ≠ 1, b ≠ 1,
maka berlaku alog b X blog c = alog c
Sifat 7
Jika a dan b bilangan real positif dan a ≠ 1,
maka  berlaku alog bm =           x  alog b.

jika m = n maka


4.    Penerapan Logaritma dalam perhitungan-perhitungan.
a)    Pemakaian Logaritma dalam perkalian dan pembagian
Sifat –sifat logaritma yang digunakan dalam operasi perkalian dan pembagian adalah :
1.    log (a x b) = log a + log b
2.    log     = log a – log b
contoh soal!
è hitunglah 4,28 x 15,62
Jawab
Misal         p = 4,28 X 15,62
           log p = log (4,28 X 15,62)
                           log p = log 4,28 + log 15,62
           log p = 0,631 + (0,193 +1 )
           log p = 1,824
           log p = 0,824 + 1
                  p = antilog 0,824 X antilog 1
                  p = 6,67 X 101
                  p = 6,67

b)   Pemakaian Logaritma dalam perpangkatan dan penarikan akar
Sifat –sifat logaritma yang digunakan dalam operasi perpangkatan dan penarikan akar adalah alog bn = n x alog b
contoh soal!
è hitunglah (321,26)5
Jawab
Misal           p =  (321,26)5
           log p = log (321,26)5
                           log p = 5 X  log 321,26
           log p =  5 X  2,505
            log p = 12,525
           log p = 0,525 + 12
                  p = antilog 0,525 X antilog (12)
                  p = 3,35 X 1012

1 komentar: