Perbedaan antara angka dengan bilangan

Sebuah angka digunakan untuk melambangkan bilangan, suatu entitas abstrak dalam ilmu matematika. Tetapi bagi orang-orang awam, angka dan bilangan seringkali dianggap dua entitas yang sama. Mereka pun umumnya menganggap angka dan bilangan sebagai bagian dari matematika.

Memang bahasa Indonesia belum cukup baku sebagai alat komunikasi dalam ilmu dan sains, sehingga belum ada konsesus resmi bahwa 'angka' dan 'bilangan' melambangkan dua hal yang sangat berbeda. Demikian pula, kedua kata angka dan bilangan masih sering dipertukarkan dengan kata nomor.
Kata nomor biasanya menunjuk satu atau lebih angka yang melambangkan sebuah bilangan bulat dalam suatu barisan bilangan-bilangan bulat yg berurutan. Misalnya kata 'nomor 3' menunjuk salah satu posisi urutan dalam barisan bilangan-bilangan 1, 2, 3, 4, ..., dst. Jadi kata nomor sangat erat terkait dengan pengertian 'urutan'.
Arti kata 'angka' lebih mendekati arti kata 'digit' dalam bahasa Inggris. Nampaknya belum ada kata dalam bahasa Indonesia yang merupakan terjemahan secara tepat dari 'digit'. Dalam hal ini, sebuah atau beberapa angka lebih berperan sebagai lambang tertulis atau terketik dari sebuah bilangan. Sesuai dengan arti kata 'digit', lebih baik pengertian angka dibakukan dengan batasan agar hanya ada sepuluh angka yang berbeda: 0, 1, 2 ..., 9.
Untuk memperjelas pengertian angka seperti diuraikan dalam paragraf terakhir, berikut diberikan dua contoh penggunaannya.
"Bilangan sepuluh ditulis dengan dua buah angka (double digits), yaitu angka 1 dan angka 0.",
"Inflasi di Zinbwabe mencapai 3 angka (three digits)" (Maksudnya, inflasi di Zinbwabe sudah mencapai paling sedikit 100%, sebab bilangan 100 adalah bilangan dengan nilai terendah yang bisa ditulis dengan tiga angka).
Dalam sistem bilangan biner (binary number system), yaitu sistem bilangan basis 2, hanya digunakan dua angka: 0 dan 1, untuk menyatakan sembarang bilangan bulat. Misalnya, deretan tiga angka 101 dalam sistem biner melambangkan bilangan 3 dalam sistem bilangan basis 10.
Tanpa penjelasan lebih jauh, kata 'bilangan' di sini selalu diartikan bilangan dalam sistem basis 10.

Dalam matematika

Untuk angka x:

x·1 = 1·x = x (Hal ini menunjukkan bahwa 1 merupakan angka identitas dalam perkalian - semua bilangan dikali 1 hasilnya adalah bilangan itu sendiri).

x/1 = x (Semua bilangan dibagi 1 hasilnya adalah bilangan itu sendiri)

x¹ = x (Semua bilangan pangkat 1 hasilnya adalah bilangan itu sendiri)

1^x = 1 (1 pangkat bilangan apapun hasilnya tetap 1)

Untuk x yang bukan 0, x⁰ = 1

x↑↑1 = x dan 1↑↑x = 1 (lihat tetrasi).

Di dalam sistem bilangan riil, angka 1 dapat diwakili oleh dua macam cara sebagai angka desimal berulang: 1,000... dan 0.999... . Lihat artikel tentang 0,999... untuk penjelasan lebih lanjut mengenai hal ini.
Di dalam axiom Peano atau representasi Von Neumann tentang bilangan natural, angka 1 didefinisikan sebagai himpunan {0}. Himpunan ini memiliki kardinalitas 1 dan urutan hereditas 1. (Himpunan yang hanya memiliki satu anggota saja disebut himpunan tunggal).
Di dalam buku Principia Mathematica, matematikawan Alfred North Whitehead dan Bertrand Russell mendefinisikan angka 1 sebagai himpunan seluruh himpunan tunggal.
Angka 1 merupakan faktorial, pangkat dua, pangkat tiga (dan seterusnya) angka itu sendiri (karena 1 × 1 × ... × 1 = 1). Angka 1 juga merupakan angka figurasi yang pertama untuk setiap jenisnya (baik itu angka segitiga, angka segilima, angka segienam beraturan, maupun yang lainnya).
Karena identitas perkalian yang dimilikinya, maka jika f(x) adalah sebuah fungsi perkalian, maka f(1) pasti hasilnya 1.
Angka 1 juga merupakan angka pertama dan kedua dalam deretan Fibonacci, dan merupakan angka pertama dalam banyak deretan-deretan yang lain di dalam matematika.
Angka 1 merupakan perkalian kosong.
Angka 1 adalah bilangan bulat positif ganjil terkecil.
Angka 1 merupakan salah satu angka pembagi harmonis.
Angka 1 seringkali dipakai untuk mewakili pernyataan 'benar' dalam sistem Boolean pada ilmu komputer.
Angka 1 merupakan sebuah bilangan prima (walaupun saat ini sedang dikaji ulang apakah benar 1 termasuk di dalam bilangan prima dan bilangan komposit). Definisi bilangan prima adalah bahwa bilangan tersebut hanya dapat dibagi oleh angka 1 dan bilangan itu sendiri. Angka 1 dapat tidak dianggap sebagai bilangan prima karena angka 1 merupakan satu-satunya bilangan prima yang hanya memiliki satu pembagi.
Angka 1 merupakan satu dari tiga kemungkinan hasil dari fungsi Möbius. Jika sebuah bilangan bulat yang tanpa kuadrat dengan jumlah faktor prima genap dimasukkan ke dalam fungsi Möbius, maka hasilnya adalah satu. (Kemungkinan lain dari fungsi tersebut menghasilkan -1 atau 0).
Angka 1 merupakan satu-satunya bilangan ganjil yang di dalam batas fungsi Euler φ(x), untuk x = 1 dan x = 2.
Angka 1 termasuk salah satu dari angka perkalian sempurna.
Angka 1 merupakan hasil dari sinus π/2 radian dan cosinus 0 radian.
Angka 1 merupakan digit pertama paling umum di dalam berbagai himpunan data, sebagai konsekuensi dari hukum Benford.
Deretan bilangan natural selalu berakhir dengan angka 1 (konjektur Collatz).

Operasi Matematika Dasar

Pada pembahasan operasi matematika dasar ini, saya membagi lagi menjadi beberapa sub bahasan sebagai berikut:

-         Mengenal Angka

-         Penjumlahan

-         Pengurangan

-         Perkalian

-         Pembagian

-         Penggabungan Operasi Matematika

Mengenal Angka

Angka adalah suatu nilai atau object utama dalam suatu perhitungan, dimana tanpa angka ini tidak mungkin terjadi suatu operasi matematika. Terdapat sepuluh angka dasar yang wajib diketahui, yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9. Maha Suci Allah dan Maha Besar Allah, dari sepuluh angka-angka inilah dapat terjadi suatu operasi matematika yang sangat kompleks. Dari sepuluh angka-angka ini dapat terwujud menjadi bilangan positi, negatif, pecahan atau desimal, nilai uang, dan lain sebagainya.

Penjumlahan

Penjumlahan merupakan operasi matematika yang menjumlahkan suatu angka dengan angka lainnya sehingga menghasilkan nilai tertentu yang pasti. Simbol untuk operasi penjumlahan adalah tanda plus ( + ).

Contoh:

3 + 7 = 10

Pengurangan

Pengurangan merupakan operasi matematika yang mengurangkan suatu angka dengan angka lainnya sehingga menghasilkan nilai tertentu yang pasti. Simbol untuk operasi pengurangan adalah tanda minus ( - ).

Contoh:

11 – 1 = 10

Perkalian

Perkalian merupakan operasi matematika yang mengalikan suatu angka dengan angka lainnya sehingga menghasilkan nilai tertentu yang pasti. Simbol untuk operasi perkalian adalah tanda silang ( x ).

Contoh:

2 x 5 = 10

Pembagian

Pembagian merupakan operasi matematika yang membagi suatu angka dengan angka lainnya sehingga menghasilkan nilai tertentu yang pasti. Simbol untuk operasi pembagian adalah tanda titik dua ( : ) atau ( ÷ ). Selain tanda titik dua, seringkali operasi pembagian ini menggunakan simbol garis miring ( / ) atau garis tengah ( _ ).

Contoh:

100 : 10 = 10

100 ÷ 10 = 10

100 / 10 = 10

Penggabungan Operasi Matematika

Selain ke empat operasi matematika diatas (penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian), terdapat pula operasi matematika lainnya yang juga umum dilakukan, yaitu penggabungan dari ke empat operasi matematika tersebut. Operasi matematika jenis ini harus mengikuti persyaratan sebagai berikut:

 1.      Operasi matematika yang perhitungannya didahulukan adalah operasi matematika yang diawali dengan tanda kurung buka “(“ dan dan diakhiri dengan tanda kurung tutup “)”, dimana diawali dengan tanda kurung yang terletak di bilangan yang paling dalam.

2.      Kemudian setelah itu operasi perkalian dan pembagian, dengan urutan dari paling awal atau dari kiri  ke kanan.

3.      Kemudian yang terakhir adalah operasi penjumlahan dan pengurangan, dengan urutan dari paling awal atau dari kiri  ke kanan.

 Contoh:

Berapakah hasil dari operasi matematika sebagai berikut: 1 + 2 × (3 + (5 - 1)) : 7 – 2 ?

Jawaban:

= 1 + 2 × (3 + (5 - 1)) : 7 – 2

= 1 + 2 × (3 + 4) : 7 – 2

= 1 + 2 × 7 : 7 – 2

= 1 + 14 : 7 – 2

= 1 + 2 – 2

= 3 – 2

= 1